Линейная алгебра и некоторые ее приложения

  

Головина Л. И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения: Учебное пособие для вузов.—4-е изд., испр,— М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — 392 с.

Основное содержание книги составляют теория определителей и краткий курс собственно линейной алгебры. В качестве «приложений» линейной алгебры рассматриваются самые разные вопросы: дается краткое изложение общей теории кривых и поверхностей второго порядка, вводятся основные понятия тензорной алгебры, излагаются основные понятия теории трупп и элементы теории представлений групп. В одной из глав книги методы линейной алгебры применяются к основным понятиям физики — принципам относительности, классическому и релятивистскому.


Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ
ГЛАВА I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Системы уравнений с двумя и тремя неизвестными
§ 2. Перестановки и транспозиции. Определитель n-го порядка
§ 3. Свойства определителей
§ 4. Миноры и алгебраические дополнения
§ 5 Разложение определителя по элементам строки или столбца
§ 6. Системы n линейных уравнений с n неизвестными
§ 7. Ранг матрицы
§ 8. Понятие о линейной зависимости
§ 9. Произвольные системы линейных уравнений
§ 10. Однородные системы
§ 11. Метод Гаусса
ГЛАВА II. n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО
§ 2. Поле комплексных чисел
§ 3. Определение векторного пространства
§ 4. Размерность и базис
§ 5. Изоморфизм векторных пространств
§ 6. Переход к новому базису
§ 7. Подпространства векторного пространства
§ 8. Линейные многообразия
§ 9. Пересечение и сумма лодпространств
§ 10. Определение аффинного пространства
§ 11. Введение координат в аффинном пространстве
§ 12. Переход к новой системе координат
§ 13. k-мерные плоскости в аффинном пространств
§ 14. Выпуклые множества в аффинном пространстве
ГЛАВА III. ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 2. Действия над линейными операторами
§ 3. Прямоугольные матрицы
§ 4. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису
§ 5. Ранг и дефект линейного оператора
§ 6. Невырожденный линейный оператор
§ 7. Инвариантные подпространства
§ 8. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
§ 9. Спектр линейного оператора
§ 10. Жорданова нормальная форма
ГЛАВА IV. ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО
§ 1. Скалярное произведение
§ 2. Ортонормированный базис
§ 3. Ортогональное дополнение
§ 4. Евклидово (точечно-векторное) пространство
ГЛАВА V. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ
§ 2. Оператор, сопряженный данному
§ 3. Самосопряженный оператор
§ 4. Ортогональный оператор
§ 5. Унитарный оператор
§ 6. Произвольный линейный оператор в евклидовом пространстве
ГЛАВА VI. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ
§ 1. Билинейный функционал. Билинейная и квадратичная формы
§ 2. Приведение квадратичной формы к сумме квадратов
§ 3. Закон инерции квадратичных форм
§ 4. Определенные формы
§ 5. Билинейные и квадратичные формы в евклидовом пространстве
§ 6. Билинейный функционал в комплексном векторном пространстве
ГЛАВА VII. ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§ 1. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
§ 2. Инварианты кривой второго порядка
§ 3. Определение центра и главных осей центральной кривой. Отыскание вершины и оси параболы
§ 4. Исследование общего уравнения поверхности второго порядка
ГЛАВА VIIII. ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРАХ
§ 2. Определение и простейшие свойства тензоров
§ 3. Операции над тензорами
§ 4. Тензоры в евклидовом пространстве
ГЛАВА IX. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СПЕЦИАЛЬНОЙ ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
§ 1. Двумерные пространства со скалярным произведением
§ 2. Полуевклидова плоскость
§ 3. Псевдоевклидова плоскость
§ 4. Псевдоортогональный оператор
§ 5. Пространство событий. Принцип относительности Галилея
§ 6. Принцип относительности Эйнштейна
§ 7. Преобразования Лоренца
§ 8. Некоторые следствия из формул Лоренца
ГЛАВА X. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП
§ 1. Примеры групп. Определение группы
§ 2. Подгруппа
§ 3. Группы преобразований. Симметрическая группа n-й степени
§ 4. Изоморфизм групп
§ 5. Разложение группы по подгруппе
§ 6. Нормальная подгруппа
§ 7. Фактор-группа
§ 8. Прямое произведение групп
§ 9. Классы сопряженных элементов группы
§ 10. Классы сопряженных элементов прямого произведения групп
§ 11 Гомоморфизм групп
ГЛАВА XI. ГРУППЫ СИММЕТРИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
§ 1. Группа движений вещественного евклидова пространства и ее подгруппы
§ 2. Сопряженные элементы в группе вращений трехмерного пространства
§ 3. Группа вращений правильного n-угольника Cn
§ 4. Диэдральные группы Dn
§ 5. Группа вращений тетраэдра T
§ 6. Группа вращений куба О
§ 7. Группа симметрии тетраэдра Td
§ 8. Группа симметрии куба Oh
§ 9. Заключение
ГЛАВА XII. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП
§ 2. Изоморфные представления
§ 3. Подпредставление
§ 4. Прямая сумма представлений
§ 5. Унитарное представление. Приводимые и неприводимые представления
§ 6. Регулярное представление
§ 7. Функции, определенные на группе
§ 8. Скалярное произведение на группе
§ 9. Лемма Шура
§ 10. Следствия из леммы Шура
ГЛАВА XIII. ТЕОРИЯ ХАРАКТЕРОВ
§ 2. Характеры неприводимых представлений
§ 3. Дальнейшие свойства характеров
§ 4. Основное соотношение
§ 5. Число неприводимых представлений группы
§ 6. Представления коммутативной группы
§ 7. Представления циклических групп
§ 8. Представления диэдральных групп
§ 9. Характеры группы вращений тетраэдра
§ 10. Характеры группы вращений куба и группы симметрии тетраэдра
§ 11. Тензорное (кронекеровское) произведение матриц
§ 12. Тензорное произведение векторных пространств
§ 13. Тензорное произведение линейных операторов
§ 14. Тензорное произведение представлений (представления прямого произведения групп)
§ 15. Характеры группы симметрии куба
СПИСОК ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ